Question

12．如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2$\sqrt{3}$，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（　　）

• A． $\frac{18\sqrt{5}}{5}$
• B． 8
• C． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
• D． 10

Answer 1

分析 以C为原点建立空间直角坐标系，设P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量$\overrightarrow{n}$，则cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CC′}$＞=$\frac{1}{2}$，解出a，b的关系式，得出△PQC的最小值，又C到平面PQC′的距离为$\sqrt{3}$，利用等体积法求出△PQC′的面积最小值．

解答 解：以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（0，0，0），C′（0，0，2$\sqrt{3}$）．设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．
∴$\overrightarrow{QC′}$=（-b，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC′}$=（0，-a，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CC′}$=（0，0，2$\sqrt{3}$），
设平面PQC′的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC′}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QC′}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-ay+2\sqrt{3}z=0}\\{-bx+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{b}$，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CC′}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{CC′}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{\frac{12}{{b}^{2}}+\frac{12}{{a}^{2}}+1}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CC′}$＞=$\frac{1}{\sqrt{\frac{12}{{b}^{2}}+\frac{12}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{12}{{a}^{2}}+\frac{12}{{b}^{2}}=3$，∴a²+b²=$\frac{1}{4}{a}^{2}{b}^{2}$≥2ab，解得ab≥8．
∴当ab=8时，S_△PQC=4，棱锥C′-PQC的体积最小，
∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵V_C′-PQC=V_C-PQC′，
∴$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△PQC′}×\sqrt{3}$，∴S_△PQC′=8．
故选：B．

点评 本题你考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，属于中档题．