题目内容
已知△ABC，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，满足：2
sin2
=sinC+
+1．
（1）求角C的大小．
（2）若
•
=
，C=
，求a、b的值（a＞b）．
| 3 |
| A+B |
| 2 |
| 3 |
（1）求角C的大小．
（2）若
| CA |
| CB |
| 3 |
8-2
|
考点：余弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，再利用余弦定理列出关系式，联立即可求出a与b的值．
（2）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，再利用余弦定理列出关系式，联立即可求出a与b的值．
解答：
解：（1）由题设可得：
[1-cos（A+B）]=sinC+
+1，即
+
cosC=sinC+
+1，
整理得：sinC-
cosC=2sin（C-
）=-1，
∴sin（C-
）=-
，
∵0＜C＜π，∴-
＜C-
＜
，
∴C-
=-
，即C=
；
（2）由
•
=
，得到bacos
=
，即ab=2①，
由余弦定理得，c2=8-2
=a2+b2-2abcos
，
整理得：8-2
=（a+b）2-4-2
，即a+b=2
②，
联立①②，解得
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
整理得：sinC-
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sin（C-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵0＜C＜π，∴-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴C-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由
| CA |
| CB |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
由余弦定理得，c2=8-2
| 3 |
| π |
| 6 |
整理得：8-2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
联立①②，解得
|
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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