Question

已知数列{a_n]中，a₂=a+2（a为常数）；S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求a₁、a₃；
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）求证以（a_n，

Sn

n

-1）为坐标的点P_n（n=1，2，3…）都落在同一直线上．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n是na_n与na的等差中项．我们可能得到S_n、na_n与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a₂=a+2（a为常数），不难给出a₁，a₃；
（2）由a₁，a₂，a₃的值与n的关系，我们不难归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，故可采用数学归纳法来证明．
（3）利用

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

是常数，证明以（a_n，

Sn

n

-1）为坐标的点P_n（n=1，2，3…）都落在同一直线上．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由已知得Sn=

nan+na

2

=

an+a

2

•n，
当n=1时，
S₁=a₁则2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃
则2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（2）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
证明：
①当n=1时，
左边=a₁=a，
右边=a+2（1-1）=a，
则当n=1时，等式成立，
当n=2时，
左边=a₂=a+2=右边，
故当n=2时，等式成立．
②假设n=K时，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）则当n=K+1时，
a_K+1=S_K+1-S_K=

ak+1+a

2

（k+1）-

ak+a

2

k
∴（k-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

k

k-1

a_k-

a

k-1

将a_k=a+2（k-1）代入，得

ak+1= k k-1 [a+2(k-1)]- a k-1

=

(k-1)a+2k(k-1)

k-1

=a+2[(k+1)-1]
∴当n=k+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．（10分）
（3）当n≥2时，a_n=a+2（n-1），Sn=

an+a

2

•n=

2a+2(n-1)

2

•n=(a+n-1)•n
∴

Sn

n

=a+n-1∴(

Sn

n

-1)-(

S1

1

-1)=n-1又a_n-a₁=2（n-1）
∴

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

=

n-1

2(n-1)

=

1

2

故点P_n（n=1，2，3，…）都落在同一直线上．   （14分）

点评：本题（2）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．