Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a_n²+a_n-2S_n=0，c_n=a_nb_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*），求出数列{c_n}的前n项和T_n并判断是否存在整数m、M，使得m＜T_n＜M对任意正整数n恒成立，且M-m=4？说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n＞1，得（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，从而a_n-a_n-1=1，令n=1，得a_n=1+（n-1）=n．
（2）由已知得cn=n(

1

2

)n-1，由此利用错位相减法能求出存在整数M=4，m=0满足题目要求．

解答： （本题满分15分）
解：（1）令n＞1，

a

2 n-1

+an-1-2Sn-1=0，
所以（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+a_n-a_n-1-2a_n=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
a_n-a_n-1=1，
令n=1
则

a

2 1

+a1-2a1=0⇒a1=1．
从而，a_n=1+（n-1）=n．
（2）因为

bn

bn-1

=

1

2

，所以bn=(

1

2

)n-1，
因此cn=n(

1

2

)n-1．
所以Tn=1(

1

2

)0+2(

1

2

)1+…+n(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1(

1

2

)1+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，

1

2

Tn=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，Tn=4[1-(

1

2

)n]-n(

1

2

)n-1
=4-4(

1

2

)n-n(

1

2

)n-1
=4-(2n+4)(

1

2

)n．
从而可得：T_n＜4．
因为Tn+1-Tn=4-(2n+6)(

1

2

)n+1-4+(2n+4)(

1

2

)n=(

1

2

)n(n+1)＞0．
所以T_n≥T₁=1．
故存在整数M=4，m=0满足题目要求．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．