Question

已知函数f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出单调区间，
（2）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=x²-2lnx，得f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

；
则由f'（x）＞0且x＞0，得x＞1；
由f'（x）＜0且x＞0，得0＜x＜1；
所以，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）∵k(x)=f(x)-h(x)=-2lnx+x-a∴k′(x)=-

2

x

+1，
若k′（x）=0，则x=2，
当x∈[1，2）时，k′（x）＜0；当x∈（2，3]时，k′（x）＞0．
故k（x）在x∈[1，2）上递减，在（2，3]上递增，
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

∴

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-2ln3

∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．
所以实数 a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]

点评：本题考查函数的单调区间的求法，不等式的解法，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．