Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=（k+1）S_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求实数k的值；
（2）问数列{a_n}是等比数列吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）求出数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁+a₂=（k+1）a₁+2．由a₁=2，a₂=1，能求出k的值．
（2）数列{a_n}是等比数列．由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，由此推导出an+1=

1

2

an(n≥2)，由此能证明数列{a_n}是等比数列．
（3）由（2）知等比数列{a_n}中，a₁=2，q=

1

2

，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵S_n+1=（k+1）S_n+2，∴S₂=（k+1）S₁+2，
∴a₁+a₂=（k+1）a₁+2．…（2分）
又∵a₁=2，a₂=1，∴2+1=2（k+1）+2，
解得k=-

1

2

．…（4分）
（2）数列{a_n}是等比数列．…（5分）
由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，①
当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，②
①-②得an+1=

1

2

an(n≥2)．…（7分）
又∵a2=

1

2

a1，且a_n≠0（n∈N*），
∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N*)，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为

1

2

，
∴an=a1qn-1=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

．…（9分）
（3）∵a₁=2，q=

1

2

，
∴Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)．…（12分）

点评：本题考查数列中参数的求法，考查等比数列的判断与证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的性质．