题目内容
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn
，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn＞60n+800成立的最小正整数n的值．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn
| 2Sn |
| n |
考点：数列的求和,数列与不等式的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）利用递推关系式求出数列是等差数列，进一步确定通项公式．
（Ⅱ）直接转化出bn=
=4n-2，求出前n项和，最后求出最小值n．
（Ⅱ）直接转化出bn=
| 2Sn |
| n |
解答：
解：（Ⅰ）正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，①
所以：8Sn-1=an-12+4an-1+3②
所以：①-②得
（an-an-1-4）（an+an-1）=0
由于数列是正项数列，所以：an-an-1=4
所以{an）是以a1为首项4为公差的等差数列，
由于8a1=a12+4a1+3
解得：a1=3或1
a2是a1和a7的等比中项
所以：a1=3舍去
故：an=4n-3
（Ⅱ）由上步结论：an=4n-3
bn=
=4n-2
Tn=b1+b2+…+bn=2n2
由于2n2＞60n+800
解不等式得：n＞40或n＜-10
所以n的最小值为：41
所以：8Sn-1=an-12+4an-1+3②
所以：①-②得
（an-an-1-4）（an+an-1）=0
由于数列是正项数列，所以：an-an-1=4
所以{an）是以a1为首项4为公差的等差数列，
由于8a1=a12+4a1+3
解得：a1=3或1
a2是a1和a7的等比中项
所以：a1=3舍去
故：an=4n-3
（Ⅱ）由上步结论：an=4n-3
bn=
| 2Sn |
| n |
Tn=b1+b2+…+bn=2n2
由于2n2＞60n+800
解不等式得：n＞40或n＜-10
所以n的最小值为：41
点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，最小值问题的应用．
练习册系列答案
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