题目内容
在三棱锥P-ABC中，PA=BC=2
，PB=AC=10，PC=AB=2
，则三棱锥P-ABC的体积为 ．
| 34 |
| 41 |
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：构造长方体AQPS-MBNC，以S为原点，SA为x轴，SP为y轴，SC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥P-ABC的体积．
解答：
解：如图，构造长方体AQPS-MBNC，
以S为原点，SA为x轴，SP为y轴，SC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设SA=a，SP=b，SC=c，
∵PA=BC=2
，PB=AC=10，PC=AB=2
，
∴
，解得a=6，b=10，c=8，
A（6，0，0），B（6，10，8），C（0，0，8），P（0，10，0），
∴
=（-6，0，8），
=（0，10，8），
=（-6，0，-8）
cos＜
，
＞=
=
，∴sin＜
，
＞=
，
∴S△ABC=
×|AB|×|AC|×sin＜
•
＞
=
×2
×10×
=2
．
设平面ABC的法向量
=(x，y，z)，
，取x=20，得
=（20，-12，15），
∴P到平面ABC的距离：
d=
=
=
，
∴三棱锥P-ABC的体积：
V=
×S△ABC×d=
×2
×
=160．
故答案为：160．
解：如图，构造长方体AQPS-MBNC，以S为原点，SA为x轴，SP为y轴，SC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设SA=a，SP=b，SC=c，
∵PA=BC=2
| 34 |
| 41 |
∴
|
A（6，0，0），B（6，10，8），C（0，0，8），P（0，10，0），
∴
| AC |
| AB |
| BP |
cos＜
| AB |
| AC |
| 64 | ||
10×2
|
| 16 | ||
5
|
| AB |
| AC |
| ||
5
|
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
=
| 1 |
| 2 |
| 41 |
| ||
5
|
| 769 |
设平面ABC的法向量
| n |
|
| n |
∴P到平面ABC的距离：
d=
|
| ||||
|
|
| |-120-120| | ||
|
| 240 | ||
|
∴三棱锥P-ABC的体积：
V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 769 |
| 240 | ||
|
故答案为：160．
点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意构造法和向量法的合理运用．
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