Question

已知函数f（x）=4sin（

π

2

+

x

2

）cos（

x

2

+

π

6

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象对称中心的坐标；
（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果c=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA+sinB+sinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为2sin(x+

2π

3

)+

3

，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心；
（Ⅱ）根据f（C）=

3

+1代入解析式求出角C的值，再由三角形的面积求出ab的值，由余弦定理得b²+a²=7，进而求出a+b的值，再根据定弦定理求出比值，变形后求出式子的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=4sin（

π

2

+

x

2

）cos（

x

2

+

π

6

）
=4cos

x

2

（

3

2

cos

x

2

-

1

2

sin

x

2

）
=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx
=2sin(x+

2π

3

)+

3

，
所以函数f（x）的最小正周期为T=2π，
由x+

2π

3

=kπ得，x=kπ-

2π

3

（k∈Z），
则函数的图象对称中心的坐标是（kπ-

2π

3

，

3

）（k∈Z）；
（Ⅱ）因为f（C）=

3

+1，
所以2sin(C+

2π

3

)+

3

=

3

+1，化简得sin(C+

2π

3

)=

1

2

，
因为0＜C＜π，所以

2π

3

＜C+

2π

3

＜

5π

3

，
所以C+

2π

3

=

5π

6

，解得C=

π

6

，
又△ABC的面积为

3

2

，所以

1

2

absin

π

6

=

3

2

，
解得ab=2

3

，①
由余弦定理得，c2=b2+a2-2abcos

π

6

=1，
得b²+a²=7，②，
由①②得，a+b=

(a+b2)

=

a2+2ab+b2

=

7+2 3

=2+

3

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，
则

sinA+sinB+sinC

a+b+c

=

1

2

，
解得，sinA+sinB+sinC=

1

2

（a+b+c）=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的对称中心，余弦定理、正弦定理的灵活应用，属于中档题．