Question

19．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差数列．
（1）求角C的值；
（2）求2sin²A+cos（A-B）的范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．
（2）由A+B=$\frac{2π}{3}$，利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sin²A+cos（A-B）=1+$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$），由A+C＞$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求得范围0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可得0＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1，从而可求取值范围是（1，1+$\sqrt{3}$]．

解答 解：（1）∵acosB，ccosC，bcosA成等差数列．
∴acosB+bcosA=2ccosC，
∴由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴锐角C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，∴A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴2sin²A+cos（A-B）=1-cos2A+cos（2A-$\frac{2π}{3}$）
=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=1+$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$），
在锐角△ABC中，∵A+C＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
则0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
则有0＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1，
即有1＜1+sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1+$\sqrt{3}$．
则所求取值范围是（1，1+$\sqrt{3}$]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的化简和求值，正弦函数的图象和性质，考查二倍角公式，以及两角和差的正弦、余弦公式，属于中档题．