Question

18．已知双曲线C：mx²+ny²=1（mn＜0）的一条渐近线与圆x²+y²-6x-2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{3}$或$\frac{25}{16}$
• D． $\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 讨论当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，求得渐近线方程，圆的圆心和半径，运用相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式化简可得16m=-9n，化双曲线方程为标准方程，运用离心率公式计算可得；同样讨论当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，可得离心率．

解答 解：当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，
可得渐近线方程为$\sqrt{m}$x±$\sqrt{-n}$y=0，
圆x²+y²-6x-2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，
由题意可得d=$\frac{|3\sqrt{m}-\sqrt{-n}|}{\sqrt{m-n}}$=1，
化简可得16m=-9n，
双曲线C：mx²+ny²=1的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}$-$\frac{{y}^{2}}{-\frac{1}{n}}$=1（m＞0，n＜0），
a²=$\frac{1}{m}$，b²=-$\frac{1}{n}$，
离心率为$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{m}{n}）}$=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$；
当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，
可得渐近线方程为$\sqrt{-m}$x±$\sqrt{n}$y=0，
圆x²+y²-6x-2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，
由题意可得d=$\frac{|3\sqrt{-m}-\sqrt{n}|}{\sqrt{n-m}}$=1，
化简可得16m=-9n，
双曲线C：mx²+ny²=1的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}$-$\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}$=1（m＜0，n＞0），
a'²=$\frac{1}{n}$，b'²=-$\frac{1}{m}$，
离心率为$\sqrt{1+（\frac{b′}{a′}）^{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{n}{m}）}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\frac{5}{3}$．
综上可得，离心率为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用分类讨论思想方法，结合直线和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．