Question

函数f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx+3cos²ωx的定义域为[0，

π

2

]，
（1）当ω=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若ω＞0，定义域为[0，

π

2

]的函数f（x）的最大值为M，如果关于x的方程f（x）=M在区间[0，

π

2

]有且仅有一个解，求ω的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用ω=1时，通过两角和与差的三角函数化简函数的表达式，集合定义域，求出相位的范围．然后求函数f（x）的最小值；
（2）利用ω＞0，定义域为[0，

π

2

]的函数f（x）的最大值为M，结合（1）求出M，关于x的方程f（x）=M在区间[0，

π

2

]有且仅有一个解，利用x=

π

2

时，函数值小于x＞0后的第二个最大值，即可求ω的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx+2sinωx•cosωx+3cos²ωx
=2+sin2ωx+cos2ωx
=2+

2

sin（2ωx+

π

4

）
∵定义域为[0，

π

2

]，ω=1
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
故由函数图象和性质可知，f（x）_min=2+

2

sin

5π

4

=1．
（2）由（1）知，定义域为[0，

π

2

]的函数f（x）的最大值为M=2+

2

根据题意有2+

2

sin（2ωx+

π

4

）=2+

2

，
关于x的方程f（x）=M在区间[0，

π

2

]有且仅有一个解，
就是sin（2ωx+

π

4

）=1在区间[0，

π

2

]有且仅有一个解，
∵ω＞0，∴x=

π

2

时，2ω×

π

2

+

π

4

＜

5π

2

，解得ω＜

9

4

，
综上ω∈（0，

9

4

）．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的图象与性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．