Question

如图在边长为1正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz，
（I）若点P在线段BD₁上，且满足3|BP|=|BD₁|，试写出点P的坐标并写出P关于纵坐标轴y轴的对称点P′的坐标；
（Ⅱ）在线段C₁D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间向量及应用

分析：（I）由题意知P的坐标为（

2

3

，

2

3

，

1

3

），由此能求出P关于纵坐标轴y轴的对称点P′的坐标．
（Ⅱ）设线段C₁D上找一点M坐标为（0，m，m），则有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，由此能求出M．

解答： 解：（I）由题意知P的坐标为（

2

3

，

2

3

，

1

3

），…（2分）
P关于纵坐标轴y轴的对称点P′的坐标为（-

2

3

，

2

3

，-

1

3

）．…（5分）
（Ⅱ）设线段C₁D上找一点M坐标为（0，m，m），
则有|MP|=

( 2 3 )2+(m- 2 3 )2+(m- 1 3 )2

=

2m2-2m+1

=

2(m- 1 2 )2+ 1 2

，
当m=

1

2

时，|MP|取到最小值，
∴点为M（0，

1

2

，

1

2

）．…（12分）

点评：本题考查空间中点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．