Question

已知函数y=f（x）对任意x∈R有f（x+1）=-

1

f(x)

，且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+1，则以下命题正确的是：
①函数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]单调递增；
③函数y=f（x）+

4

f(x)

的最大值是4；
④若关于x的方程[f（x）]²-f（x）-m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；
⑤当x₁，x₂∈[1，3]时，f（

x1+x2

2

）≥

f(x1)+f(x2)

2

．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的偶函数的定义和周期函数的定义，可以得出①正确，再根据函数的单调区间和函数的周期性可以得到②正确，取x=0，y=5＞4，故③错误，利用换元法，求出的a的值域即可，即可判断④正确，取x₁=-1，x₂=1，可得⑤错误．

解答： 解：对于①，f（x+2）=-

1

f(x+1)

=f（x），故函数y=f（x）是周期为2的周期函数，f（-x）=（-x）²+1=f（x），故函数为偶函数，故①正确；
对于②，∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x²+1，∴f（x）在[0，1]上为增函数，因为函数为周期为2的周期函数，故函数y=f（x）在[2，3]单调递增，故②正确；
对于③，∵当x∈[-1，1]时，1≤x²+1≤2，y=f（x）+

4

f(x)

≥2

4

=4，故最小值为4，x=0时，f（x）=1，y=f（x）+

4

f(x)

=1+4=5＞4，故③错误；
对于④，设f（x）=x²+1=t，则1≤t≤2，∵[f（x）]²-f（x）-m=0，即t²-t-m=0，则m=t²-t，∴0≤m≤2，即数m的范围是[0，2]，故④正确；
对于⑤，因为函数f（x）为周期为2的周期函数，故x₁，x₂∈[1，3]时，即x₁，x₂∈[-1，1]时，当x₁=-1，x₂=1时，f（

x1+x2

2

）=f（0）=1，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（2+2）=2，故⑤错误．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查了函数奇偶性和单调性，函数的值域，属于基础题．