Question

【题目】如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）在图1的等腰梯形内，过作的垂线，垂足为，可得四边形为正方形，且，为中点．在图2中，连结，证明．结合，利用平面与平面平行的判定可得平面平面，从而得到平面；

（2）由平面平面，，得平面．进一步得到．求解三角形证明．再由线面垂直的判定可得平面；

（3）证明面，可得线段为三棱锥底面的高，然后利用等积法求三棱锥的体积．

（1）在如图的等腰梯形内，

过作的垂线，垂足为，

∵，

∴ ，

又∵，，，

∴ 四边形为正方形，且，为中点．

在如图中，

连结，

∵ 点是的中点，

∴．

又∵ ，，，平面，，平面，

∴ 平面平面，

又∵ 面，

∴平面；

（2）∵ 平面平面，

平面平面，，平面，

∴ 平面．

又∵平面，

∴．

又，，，满足，

∴．

又，

平面；

（3）∵，，，

∴ 面．

又线段为三棱锥底面的高，

∴ ．