Question

13．在等差数列{a_n}中，已知d=2，a₃是a₂与a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{2}$，记T_n=-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₃是a₂与a₅的等比中项，d=2，可得$（{a}_{1}+4）^{2}$=（a₁+2）（a₁+8），解得a₁，利用等差数列的通项公式即可得出a_n．
（2）由 （1）知：a_n=2n-2，b_n=2n²-4n+$\frac{5}{2}$，b_n-b_n-1=4n-6．对n分类讨论，即可得出．

解答 解：（1）∵a₃是a₂与a₅的等比中项，∴${a}_{3}^{2}$=a₂•a₅，
∴$（{a}_{1}+4）^{2}$=（a₁+2）（a₁+8），解得a₁=0，
∴a_n=2（n-1）=2n-2．
（2）由 （1）知：a_n=2n-2，b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{2}$=$\frac{（2n-2）^{2}+1}{2}$=2n²-4n+$\frac{5}{2}$，b_n-b_n-1=4n-6．
①当n=2k（k∈N^*）为偶数时：T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）
=（4×2-6）+（4×4-6）+…+（4n-6）
=$\frac{\frac{n}{2}（2+4n-6）}{2}$=n（n-1）．
②当n=2k-1为奇数时：
T_n=T_n+1-b_n+1=（n+1）n-$[2（n+1）^{2}-4（n+1）+\frac{5}{2}]$=$\frac{-2{n}^{2}+2n-1}{2}$．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（n-1），n为偶数}\\{\frac{-2{n}^{2}+2n-1}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．