Question

在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y²=4x上，满足

OA

•

OB

=-4，F是抛物线的焦点，则S_△OFA•S_△OFB=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设l过A、B的方程为：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x，通过

OA

•

OB

=-4，得到直线恒过的定点，判断出A、B的位置，然后求出结果即可．

解答： 解：设l过A、B的方程为：x=ty+b代入抛物线y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，
∴

OA

•

OB

=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．
当x=2时，y=±

8

，此时|y₁y₂|取得最小值8，
∴S_△OFA•S_△OFB=

1

2

×1×

1

2

×1×|y₁y₂|=

1

4

×8=2．
故答案为：2．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力．