Question

若两个正实数x，y满足

2

x

+

1

y

=1，并且2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：2x+y＞m恒成立?m＜（2x+y）_min．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵2x+y＞m恒成立，∴m＜（2x+y）_min．
∵两个正实数x，y满足

2

x

+

1

y

=1，
∴2x+y=（2x+y）(

2

x

+

1

y

)=5+

2y

x

+

x

y

≥5+2

2y x • x y

=5+2

2

，当且仅当x=

2

，y=2+

2

时取等号．
∴m＜(2x+y)min=5+2

2

．
∴实数m的取值范围是(-∞，5+2

2

)
故答案为：(-∞，5+2

2

)．

点评：本题考查了问题的等价转化方法、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．