Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上一点，且|PF₁|•|PF₂|=4（4+b²），若|PF₂|＜4，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a=2，运用双曲线的定义和条件，求得b的不等式，求得正整数解，可得c，由离心率公式计算即可得到．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*）的a=2，
由P为双曲线右支上一点，
可得|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
且|PF₁|•|PF₂|=4（4+b²），
（4+|PF₂|）•|PF₂|=4（4+b²），
由|PF₂|＜4，可得4（4+b²）＜32，
可得-2＜b＜2，b∈N^*，
即有b=1，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率，主意运用定义法，考查运算能力，属于中档题．