Question

10．已知抛物线C：y²=kx（k＞0）的焦点为F，点N为抛物线上的动点，点$M（{1，\sqrt{2}}）$不在抛物线上．
（1）若k=4，求|MN|+|NF|的最小值；
（2）设p：2k²-11k+5＜0，q：线段MF与抛物线C有公共点，若p∧q是真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若k=4，利用抛物线的定义转化，即可求|MN|+|NF|的最小值；
（2）分别求出p，q为真时，k的取值范围，再利用p∧q为真命题，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）当k=4时，点M在抛物线C的内部，
过N作抛物线C的准线的垂线，垂足为A，则|AN|=|NF|．∴|MN|+|NF|=|MN|+|AN|，
当A，N，M三点共线时，|MN|+|AN|取最小值2，即|MN|+|NF|的最小值为2．…（6分）
（2）若p是真命题，则（2k-1）（k-5）＜0，∴$\frac{1}{2}＜k＜5$．…（8分）
若q是真命题，则点M在抛物线的外部，∴$\sqrt{k}＜\sqrt{2}$，得0＜k＜2，…（10分）
又p∧q为真命题，∴$\frac{1}{2}＜k＜2$．
所以k的取值范围是$（\frac{1}{2}，2）$．

点评 本题考查抛物线的定义，考查复合命题的真假研究，解题的关键是求出p，q为真时，k的取值范围．