Question

7．如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．
（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；
（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，PC=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用PC是圆O的切线，通过∠ACP=∠ABC，得到∠APC=∠BAC，求出∠BAC=90°，说明BC是圆O的直径．
（2）说明△APC∽△CAD，推出$\frac{AC}{CD}=\frac{AP}{AC}$，利用数据关系求解即可．

解答 （1）证明：∵PC是圆O的切线，∴∠ACP=∠ABC，
又∵∠ACB=∠APC，∴∠APC=∠BAC，
而∠PAC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=90°，∴BC是圆O的直径．
（2）解：∵∠BPC=∠DAC，∠ACP=∠ADC，
∴△APC∽△CAD，∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AP}{AC}$，∴AC²=PA•CD，①
又由切割线定理PC²=PA•PB，PC=4，AB=2$\sqrt{2}$，
得PA=2$\sqrt{2}$，②
由①②得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑推理能力以及三角形相似的应用，考查计算能力．