Question

7．已知函数$f（x）=2cos（{ωx+φ}）-1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{8}}）$，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为$\frac{4}{3}π$，若f（x）＞0对$x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}）$恒成立，则φ的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{π}{12}，0}]$
• B． $（{-\frac{π}{8}，-\frac{π}{24}}]$
• C． $[-\frac{π}{12}，\frac{π}{8}）$
• D． $[{0，\frac{π}{12}}]$

Answer 1

分析 利用余弦函数的周期性求得ω，结合题意求得cos（$\frac{3}{2}$x+φ）＞$\frac{1}{2}$，结合$\frac{3}{2}$x+φ∈（-$\frac{3π}{16}$+φ，$\frac{3π}{8}$+φ），可得-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{3π}{16}$+φ，且$\frac{3π}{8}$+φ≤$\frac{π}{3}$，由此求得φ的取值范围，综合得出结论．

解答 解：令f（x）=1，求得cos（ωx+φ）=1，
∵函数$f（x）=2cos（{ωx+φ}）-1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{8}}）$，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为$\frac{4}{3}π$，
故函数f（x）的最下正周期为$\frac{2π}{ω}$=$\frac{4π}{3}$，∴ω=$\frac{3}{2}$，f（x）=2cos（$\frac{3}{2}$x+φ）．
若f（x）＞0对$x∈（{-\frac{π}{8}，\frac{π}{4}}）$恒成立，即cos（$\frac{3}{2}$x+φ）＞$\frac{1}{2}$．
又当x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）时，$\frac{3}{2}$x+φ∈（-$\frac{3π}{16}$+φ，$\frac{3π}{8}$+φ），
∴-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{3π}{16}$+φ，且$\frac{3π}{8}$+φ≤$\frac{π}{3}$，∴-$\frac{7π}{48}$≤φ≤-$\frac{π}{24}$．
综合可得，-$\frac{π}{8}$＜φ≤-$\frac{π}{24}$，
故选：B．

点评 本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的恒成立问题，属于中档题．