Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对n∈N^*都有S_n=2a_n+n-4
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n} 满足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}（{a}_{n}-1）}$，（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式化为：a_n=2a_n-1-1，变形为a_n-1=2（a_n-1-1），即可证明．
（2）由（1）可知：a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．可得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵对n∈N^*都有S_n=2a_n+n-4，∴当n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-4-[2a_n-1+（n-1）-4]=2a_n-2a_n-1+1，
化为a_n=2a_n-1-1，变形为a_n-1=2（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为2，公比为2，
（2）解：由（1）可知：a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*）
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．．

点评 本题考查了“裂项求和”、等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．