Question

18．已知点A（2，0）是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右顶点，且椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．过点M（-3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．
（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；
（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴右端点为A，求出几何量a，b，c，即可求椭Γ的方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），联立椭圆方程，运用判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）假设存在定点N（n，0），
使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k_PN+k_QN=0恒成立．运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$c=\sqrt{3}，b=1$，
则椭圆C得方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
设直线l的方程为：y=k（x+3），
则联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（{x+3}）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，
得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，
由△＞0，解得$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}＜k＜\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
（2）假设存在定点N（n，0），
使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k_PN+k_QN=0恒成立．
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由（1）知${x_1}+{x_2}=\frac{{-24{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{36{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
$由{k_{PN}}+{k_{QN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-n}}+\frac{y_2}{{{x_2}-n}}=\frac{{k（{{x_1}+3}）}}{{{x_1}-n}}+\frac{{k（{{x_2}+3}）}}{{{x_2}-n}}$
=$\frac{{k[{2{x_1}{x_2}+（{3-n}）（{{x_1}+{x_2}}）-6n}]}}{{（{{x_1}-n}）（{{x_2}-n}）}}$
=$\frac{{k（{-6n-8}）}}{{（{{x_1}-n}）（{{x_2}-n}）（{1+4{k^2}}）}}=0$，得$n=-\frac{4}{3}$，
故存在定点$N（{-\frac{4}{3}，0}）$．

点评 本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．