Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，M、N分别是SB和SC的中点，设MN=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°
（Ⅰ）求证：平面AMN⊥平面SAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求AN和CM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（I）根据线面垂直的性质可得SC⊥BC，结合∠ACB=90°及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面SAC，由三角形中位线定理可得MN∥BC，结合线面垂直的第二判定定理可得MN⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面AMN⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中点D，连MD，在平面ABC内作DE⊥AB于E，连ME，可证得∠MED即为二面角M-AB-C的平面角，解三角形MED可得二面角M-AB-C的平面角的正切值；
（Ⅲ）作作AF

∥

.

CD，则AF

∥

.

MN，可证得∠CMF或其补角即为AN与CM所成的角，解三角形CMF可得AN和CM所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，
∵AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，又∵M，N是SC、SB的中点
∴MN∥BC，∴MN⊥面SAC，
∵MN?平面AMN，∴面AMNAMN⊥面SAC．
（Ⅱ）解：取BC的中点D，连MD，
在平面ABC内作DE⊥AB于E，连ME，
由M，D分别为SB，BC的中点，
可得MD∥SC，MD=

1

2

SC
由SC⊥平面ABC，可得MD⊥平面ABC，
则∠MED即为二面角M-AB-C的平面角，
∵直线AM与直线SC所成的角60°，MD∥SC，
∴∠AMD=60°，
∵MN=AC=CD=BD=1，
∴AD=

2

，MD=

6

3

，DE=

5

5

，ME=

195

15

，
∴cos∠MED=

DE

ME

=

5 5

195 15

=

39

13

．
（Ⅲ）解：作AF

∥

.

CD，则AF

∥

.

MN，
即四边形AFMN为平行四边形，
则AN∥FM，
则∠CMF或其补角即为AN与CM所成的角，
∵CM=MF=

15

3

，CF=

2

，
由余弦定理得cos∠CMF=

2

5

，
∴AN和CM所成角的余弦值为

2

5

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中构造出空间线面夹角，异面直线夹角的平面角，将空间角问题转化为解三角形问题是解答的关键．