Question

8．已知圆的方程为x²+y²=8，圆内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求AB的长
（2）求过点P的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，依题意可知直线AB的斜率，求得AB的方程，利用点到直线的距离求得OG即圆的半径，进而求得OA的长，则OB可求得．
（2）设出AB的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．

解答 解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，
当α=135°时，直线AB的斜率为-1，
故直线AB的方程x+y-1=0，
∴|OG|=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵r=2$\sqrt{2}$，
∴|AG|=$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$，
∴|AB|=2|AG|=$\sqrt{30}$；…（6分）
（2）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为k，OM⊥AB，
则$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x+1）}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，
消去k，得x²+y²-2y+x=0，
当AB的斜率k不存在时也成立，
故过点P的弦的中点的轨迹方程为x²+y²-2y+x=0．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．解题的过程通过代数的运算解决代数问题，最后翻译成几何结论．