Question

17．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-3）²+（y-4）²=1交于M，N点．
（1）求k的取值范围；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=24，其中O为坐标原点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．

解答 解：（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（3，4），半径R=1．
若过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-3）²+（y-4）²=1交于M，N点，
故圆心C到直线kx-y+1=0的距离d=$\frac{|3k-4+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
平方得9k²-18k+9＜1+k²，
即8k²-18k+8＜0，即4k²-9k+4＜0，
得$\frac{9-\sqrt{17}}{8}$＜k＜$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$．
（2）设M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x-3）²+（y-4）²=1，
可得 （1+k²）x²-6（k+1）x+17=0，
∴x₁+x₂=$\frac{6（k+1）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$•k²+k•$\frac{6（k+1）}{1+{k}^{2}}$+1=$\frac{24{k}^{2}+6k+1}{1+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{17}{1+{k}^{2}}$+$\frac{24{k}^{2}+6k+1}{1+{k}^{2}}$=24，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系以及向量数量积的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．