Question

2．设函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线 y=-3x+8相切于点P（2，2）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数 f （x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（2），由f′（2）=-3，且f（2）=2联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；
（2）分别由导函数大于0和小于0求得原函数的增区间及减区间，即可求出函数 f （x）的极值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线y=-3x+8相切于点P（2，2），
∴f'（2）=-3，f（2）=2．
∵f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}8+4a+2b=2\\ 3×{2^2}+2a×2+b=-3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=9\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知f（x）=x³-6x²+9x，
∴f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）=0，得x=1或x=3
令f'（x）＞0，得x＜1或x＞3； 令f'（x）＜0，得1＜x＜3．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（3，+∞）；单调递减区间为（1，3）．
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=4，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性与极值，是中档题．