Question

在平面直角坐标系xoy中，给定三点A(0，

4

3

)，B(-1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y=

4

3

(x+1)，y=-

4

3

(x-1)，y=0．点P（x，y）到AB、AC、BC的距离依次为d1=

1

5

|4x-3y+4|，d2=

1

5

|4x+3y-4|，d3=|y|．由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）点P的轨迹包含圆S：2x²+2y²+3y-2=0与双曲线T：8x²-17y²+12y-8=0．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

1

2

)．设L的方程为y=kx+

1

2

．再分情况讨论能够求出直线L的斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为y=

4

3

(x+1)，y=-

4

3

(x-1)，y=0．点P（x，y）到AB、AC、BC的距离依次为d1=

1

5

|4x-3y+4|，d2=

1

5

|4x+3y-4|，d3=|y|．依设，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化简得点P的轨迹方程为
圆S：2x²+2y²+3y-2=0与双曲线T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：2x²+2y²+3y-2=0①
与双曲线T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

1

2

)，且知它在圆S上．直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为y=kx+

1

2

③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y=

1

2

平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点．
（ii）当k≠0时，L与圆S有两个不同的交点．这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k=±

1

2

，直线L的方程为x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得E(

5

3

，

4

3

)或F(-

5

3

，

4

3

)．表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F．
故当k=±

1

2

时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点．（11分）
情况2：直线L不经过点B和C（即k≠±

1

2

），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点．即方程组

8x2-17y2+12y-8=0 y=kx+ 1 2

有且只有一组实数解，消去y并化简得(8-17k2)x2-5kx-

25

4

=0
该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k²=0④
或(-5k)2+4(8-17k2)

25

4

=0⑤
解方程④得k=±

2 34

17

，解方程⑤得k=±

2

2

．
综合得直线L的斜率k的取值范围{0，±

1

2

，±

2 34

17

，±

2

2

}．（14分）

点评：求题考查点的轨迹方程的求法和求L的斜率k的取值范围，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，利用圆锥曲线的性质恰当地进行等价转化．