Question

已知函数，.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)设，，，为函数的图象上任意不同两点，若过，两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ)先求出函数的定义域为，再对函数求导得.对分， ，，四种情况进行讨论，求得每种情况下使得的的取值范围，求得的的取值集合即是函数的单调增区间；(Ⅱ)先根据两点坐标求出斜率满足的不等式，对、的取值进行分类讨论，然后将问题“过， 两点的直线的斜率恒大于”转化为“函数在恒为增函数”，即在上，恒成立问题，即是在恒成立问题，然后根据不等式恒成立问题并结合二次函数的图像与性质求解.
试题解析：(Ⅰ)依题意，的定义域为，
.
(ⅰ)若，
当时，，为增函数.
(ⅱ)若，
恒成立，故当时，为增函数.
(ⅲ)若，
当时，，为增函数；
当时，，为增函数.
(ⅳ)若，
当时，，为增函数；
当时，，为增函数.
综上所述，
当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，.                            6分
（Ⅱ）依题意，若过两点的直线的斜率恒大于，则有，
当时，，即；
当时，，即.
设函数，若对于两个不相等的正数，恒成立，
则函数在恒为增函数，
即在上，恒成立，等价于在恒成立，则有
①时，即，所以
或②时，需且，即显然不成立.
综上所述，.                                        14分