Question

12．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上偶函数．且有f（x）+g（x）=2^x．
（1）证明：函数y=f（x）R上是增函数；
（2）解不等式g（x）$≤\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据f（x），g（x）的奇偶性，便可得到$-f（x）+g（x）=\frac{1}{{2}^{x}}$，从而联立f（x）+g（x）=2^x，便可解出$f（x）={2}^{x-1}-\frac{1}{{2}^{x+1}}，g（x）={2}^{x-1}+\frac{1}{{2}^{x+1}}$，根据增函数的定义，在R上设任意的x₁＜x₂，作差，通分，提取公因式便可证明f（x₁）＜f（x₂），这便证出f（x）在R上是增函数；
（2）将g（x）带入不等式$g（x）≤\frac{5}{4}$便可得到${2}^{x-1}+\frac{1}{{2}^{x+1}}≤\frac{5}{4}$，可以整理成关于2^x的一元二次不等式，从而可以解得$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤2$，解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）证明：$f（-x）+g（-x）=\frac{1}{{2}^{x}}$；
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数；
∴$-f（x）+g（x）=\frac{1}{{2}^{x}}$，联立f（x）+g（x）=2^x可以解得：
$f（x）={2}^{x-1}-\frac{1}{{2}^{x+1}}$，$g（x）={2}^{x-1}+\frac{1}{{2}^{x+1}}$；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}-1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+1}}$$-{2}^{{x}_{2}-1}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}+1}}$=$（{2}^{{x}_{1}-1}-{2}^{{x}_{2}-1}）+（\frac{1}{{2}^{{x}_{2}+1}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+1}}）$=$（{2}^{{x}_{1}-1}-{2}^{{x}_{2}-1}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-1＜x₂-1；
∴${2}^{{x}_{1}-1}＜{2}^{{x}_{2}-1}$；
∴${2}^{{x}_{1}-1}-{2}^{{x}_{2}-1}＜0$，$1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
（2）由$g（x）≤\frac{5}{4}$得，${2}^{x-1}+\frac{1}{{2}^{x+1}}≤\frac{5}{4}$；
整理得：2•（2^x）²-5•2^x+2≤0；
解得$\frac{1}{2}≤{2}^{x}≤2$；
∴-1≤x≤1；
∴该不等式的解集为[-1，1]．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），是分式的一般要通分，能提取公因式的一般要提取公因式，以及指数函数的单调性，解一元二次不等式．