Question

20．已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展开式中，第二项系数是第三项系数的$\frac{1}{5}$．
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，求a₀+a₁+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用在（x+2）ⁿ的展开式中，第二项系数是第三项系数的$\frac{1}{5}$，建立方程，即可求n的值；
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为$C_6^3$，为第四项，即可求展开式中二项式系数最大的项；
（3）令x=0，得a₀+a₁+…+a_n的值．

解答 解：（1）由题得$2C_n^1=\frac{1}{5}×{2^2}C_n^2$，（2分）
解得n=6．（4分）
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为$C_6^3$，为第四项，（6分）
${T_4}=C_6^3{x^3}×{2^3}=160{x^3}$．（8分）
（3）${（x+2）^6}={[（x+1）+1]^6}={a_0}+{a_1}（x+1）+{a_2}{（x+1）^2}+…+{a_6}{（x+1）^6}$，（10分）
令x=0，（11分）
得${a_0}+{a_1}+…+{a_6}={2^6}=64$．（12分）

点评 本题考查二项式定理的运用，考查赋值法，考查学生的计算能力，属于中档题．