题目内容

17．证明：函数f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是单调递减函数．

分析 根据减函数的定义，在（0，+∞）上设任意的x1＞x2，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）是单调递减函数．

解答 证明：设x1＞x2＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x1＞x2＞0；
∴x2-x1＜0，x1x2＞0；
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1）与f（x2），是分式的一般要通分．

练习册系列答案
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