Question

设函数f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

），x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，α，β∈（0，

π

2

），求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式：f（x）=3sinx，然后，根据奇函数的定义验证即可；
（2）根据f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，得到sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，然后，求解tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，tanβ=

sinβ

cosβ

=1，最后，用两角和的正切公式求解即可．

解答： 解：∵函数f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

）
=2sinx+sinx
=3sinx，
∴f（x）=3sinx，
（1）∵f（-x）=3sin（-x）=-3sinx=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
（2）∵f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，
∴sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
cosβ=

1-sin2β

=

2

2

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，
tanβ=

sinβ

cosβ

=1，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2 4 +1

1- 2 4

=

9+4 2

7

．
∴tan（α+β）=

9+4 2

7

．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角求值、两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．