Question

设直线x+y=1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．
（1）若a=

6

3

，求b的范围；
（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为

2

2

，求点P的纵坐标；
（3）若OA⊥OB，且S_△OAB=

5

8

，求椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；
（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；
（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．

解答： 解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，
消去y，得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

，
因为直线与椭圆交于两点，故△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
代入a=

6

3

，解得b＞

3

3

，且a＞b，
所以b的范围为(

3

3

，

6

3

)；
（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，
可得：x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0，解得a²+b²=2a²b²
即

1

2a2

+

1

2b2

=1，代x₀=

2

2

到椭圆方程得

1

2a2

+

y 2 0

b2

=1，
即

y

2 0

=

1

2

，
所以点P的纵坐标为±

2

2

．
（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则CD=

2

，S△COD=

1

2

，
又△AOB，△COD两个三角形等高，故

AB

CD

=

S△AOB

S△COD

=

5

4

，
所以AB=

5 2

4

=

2

|x1-x2|，求得a2b2=

16

7

所以a2=4，b2=

4

7

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

7y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．