Question

1．函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$的最大值为2．

Answer 1

分析 由$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，即可得到所求函数的最大值．

解答 解：当a≥0，b≥0，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2{a}^{2}+2{b}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}-2ab}{4}$
=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≥0，
可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，
当且仅当a=b时，取得等号．
则有y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≤$\sqrt{2（x+2-x）}$=2，
当且仅当x=1时，取得最大值2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用重要不等式$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，考查运算能力，属于中档题．