Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ） 令PD中点为F，连接EF，由已知条件推导出四边形FABE为平行四边形，由此能证明BE∥面PAD．
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ） 证明：令PD中点为F，连接EF，…（1分）
∵点E，F分别是△PCD的中点，
∴EF

∥ .

.

1

2

CD，∴EF

∥ .

.

AB．
∴四边形FABE为平行四边形．…（2分）
∴BE∥AF，AF?平面PAD，EF?平面PAD…（4分）
∴BE∥面PAD…（5分）
（Ⅱ）以D为原点，
DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则P（0，0，1），C（0，2，0），
A（1，0，0），B（1，1，0）．
∵E是PC的中点，∴E(0，1，

1

2

)…（6分）
设平面DBE的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

DB

=(1，1，0)，

DE

=(0，1，

1

2

)
∴

n • DB =0 n • DE =0

，∴

x+y=0 y+ 1 2 z=0

，
令x=1，则y=-1，z=2，∴

n

=(1，-1，2)…（9分）
∵平面DBC的一个法向量可为

m

=(0，0，1)
∴cos(

n，

m

)=

2

6

=

6

3

…（12分）
∴二面角E-BD-C的余弦值为

6

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．