Question

8．已知直线l：2x+y-3=0与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两支分别相交于P，Q两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，则$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 作出对应的图象，根据条件得到△OPQ是直角三角形，结合点到直线的距离以及直角三角形的边角关系以及勾股定理进行转化求解即可．

解答 解：作出对应的图象，
若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，则OP⊥OQ，
即△OPQ是直角三角形，
原点O到直线的距离d=OM=$\frac{|-3|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
且|OP|²+|OQ|²=|PQ|²，
∵|PQ||OM|=|OP||OQ|，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}{（|OP||OQ|）^{2}}$=$\frac{|PQ{|}^{2}}{（|PQ||OM|）^{2}}$=$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{1}{（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 本题主要考查直线和双曲线相交的应用，根据直角三角形的性质，结合勾股定理以及点到直线的距离公式进行转化是解决本题的关键．