Question

20．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AE=1，AB=2，CD=3，E，F分别为AB，CD上的点，以EF为轴将正方形ADFE向上翻折，使平面ADFE与平面BEFC垂直如图2．
（1）求证：平面BDF⊥平面BCD；
（2）求多面体AEBDFC的体积．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥BF．推出平面ADFE⊥平面BEFC，说明DF⊥BC，然后证明平面BDF⊥平面BCD．
（2）多面体AEBDFC可分为四棱锥B-AEFD和三棱锥B-DFC，利用几何体的体积公式求解即可．

解答 解：（1）由题可知，$FB=BC=\sqrt{2}，FC=2$，
∴BC⊥BF．又∵DF⊥EF，平面ADFE⊥平面BEFC，
∴DF⊥平面BEFC，
∴DF⊥BC，
∴BC⊥平面BDF，
∴平面BDF⊥平面BCD．

（2）多面体AEBDFC可分为四棱锥B-AEFD和三棱锥B-DFC
，${V_{四棱锥B-AEFD}}=\frac{1}{3}•{S_{正方图AEFD}}•EB=\frac{1}{3}$，${V_{三棱锥B-DFC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}DF•FC•EF=\frac{1}{3}$，
则多面体AEBDFC的体积为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．