Question

3．设函数f（x）=alnx-x-$\frac{1}{2}{x^2}$
（ I）a=2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （ I）求出导函数，通过a=2，求出极值点，利用单调性判断的极值，然后求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=a-x-x²，△=1+4a，通过a与-$\frac{1}{4}$的大小，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．

解答 （本题满分12分）
解：$f'（x）=\frac{a}{x}-1-x=\frac{{a-x-{x^2}}}{x}$，x＞0    （2分）
（ I）a=2，$f'（x）=\frac{{2-x-{x^2}}}{x}=\frac{{-（{x+2}）（{x-1}）}}{x}$
当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减$f{（x）_{极大}}=f（1）=-\frac{3}{2}$，无极小值，（5分）
（ II）设g（x）=a-x-x²，△=1+4a
若$a≤-\frac{1}{4}，△≤0，g（x）≤0，f'（x）≤0，f（x）在（{0，+∞}）↓$-------（7分）
若$a＞-\frac{1}{4}$，$g（x）=0，{x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1+4a}}}{2}＜0，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}$
当$-\frac{1}{4}＜a≤0$，x₂≤0，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上递减--------（9分）
当a＞0，x₂＞0，函数$f（x）在（{0，\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}}）上递增，在（{\frac{{-1+\sqrt{1+4a}}}{2}，+∞}）上递减$．-----（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的极值的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．