Question

已知函数f（x）的定义域为D，如果存在实数M，使对任意的x∈D，都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）为有界函数，下列函数：
①f（x）=2^-|x|，x∈R                          ②f（x）=ln|x|，x∈（0，+∞）
③f（x）=

x

x2+1

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）    ④f（x）=xsinx，x∈（0，+∞）
为有界函数的是（　　）

• A、②④
• B、②③④
• C、①③
• D、①③④

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，首先理解有界函数的定义，再对4个函数依次判断即可．

解答： 解：①|f（x）|=2^-|x|≤2⁰=1，故是有界函数；
②当x→0时，|f（x）|=|lnx|→+∞，x∈（0，+∞），故不是有界函数；
③|f（x）|=|

x

x2+1

|=

1

|x|+ 1 |x|

≤

1

2

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），故是有界函数；
 ④当x=2kπ+

π

2

，k∈Z时，f（x）=2kπ+

π

2

，当k→+∞时，2kπ+

π

2

→+∞，故不是有界函数；
故选C．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及应用，属于中档题．