Question

7．已知命题p：A={a|?x∈R，x²-ax+2a≥0}，命题q：B={a|?x∈[-1，4]，2^x-a+1≥0}，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据p，q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：?x∈R，x²-ax+2a≥0，
则△=a²-8a≤0，解得：a∈[0，8]，
故p：A=[0，8]，
?x∈[-1，4]，2^x-a+1≥0}，
则a≤（2^x+1）_min=$\frac{3}{2}$，
故q：B=（-∞，$\frac{3}{2}$]，
若p∧q为假，p∨q为真，
则p，q一真一假，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞8或a＜0}\\{a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤8}\\{a＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a＜0或$\frac{3}{2}$＜a≤8，
即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{3}{2}$，8]．

点评 本题考查了符合命题的判断，考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，是一道中档题．