Question

设等比数列{a_n}满足：a₁=

1

3

，a₂+a₃=

4

27

，且a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等比数列通项公式求出q=

1

3

，从而得到a_n=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）由b_n=

n

an

=n•3ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}满足：a₁=

1

3

，a₂+a₃=

4

27

，且a_n＞0．
∴

1

3

q+

1

3

q2=

4

27

，且q＞0，
解得q=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=（

1

3

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=

n

an

=n•3ⁿ，
∴S_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3×(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=

3

4

+（

n

2

-

1

4

）•3ⁿ⁺¹．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．