Question

12．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}，n≤100}\\{3-（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}），n＞100}\end{array}\right.$，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2．

Answer 1

分析 求出当n≤100时，n＞100时，运用等比数列的求和公式可得a_n，再由数列极限的运算性质，即可得到所求值．

解答 解：当n≤100时，a_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
当n＞100时，a_n=3-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$（2+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=2+$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=2+0=2．
故答案为：2．

点评 本题考查数列的极限的求法，考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．