Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

═1的左右焦点为F₁，F₂，e=

1

3

过F₁的直线l交椭圆C于A、B两点，|AF₂||AB||BF₂|成等差数列，|AB|=4．
（1）求椭圆C的方程．
（2）M、N是椭圆C上的两点，若MN被直线x=1平分，证明MN的中垂线过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，e=

c

a

=

1

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为（1，y₀），利用点差法求出线段MN的中垂线方程为y-y₀=

9y0

8

(x-1)，由此能证明MN的中垂线过定点（

1

9

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列，
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|．…2分
∴4a=|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3|AB|=12，…5分
得a=3，又e=

c

a

=

1

3

，所以c=1，b=

a2-c2

=2

2

，
所求的椭圆方程为：

x2

9

+

y2

8

=1．…7分
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为（1，y₀），
由题意知：

x12

9

+

y12

8

=1，

x22

9

+

y22

8

=1，…9分
两式相减得：

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

8

=0，
∴k_MN=

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

9(y1+y2)

=-

8

9y0

，
所以线段MN的中垂线方程为y-y₀=

9y0

8

(x-1)，…11分
∴此直线经过定点（

1

9

，0）．
∴MN的中垂线过定点（

1

9

，0）．…12分

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段的中垂线过定点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆方程的性质的合理运用．