Question

6．已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
 （2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x²，求函数g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为b≤$\frac{1}{x}$+2x对x∈（0，+∞）恒成立，根据不等式的性质求出b的范围即可；
（2）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（$\frac{1}{x}$+2x）_min，
∵x＞0，∴$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取“=”，
∴b≤2$\sqrt{2}$，
∴b的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]．
（2）当b=-1时，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得：x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴x=1是g（x）的唯一极大值点，则g（x）有最大值为0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．