Question

20．在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对边长，且满足cos²A═cos（$\frac{π}{6}$+B）•cos（$\frac{π}{6}$一B）+sin²B．
（1）求角A的大小：
（2）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=12．a=2，求b，c（b＜c）的值．

Answer 1

分析 （1）将条件式右侧化简计算，得出cosA；
（2）根据$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=12得出bc的值，利用余弦定理得出b²+c²，解方程组得出b，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，cos²A=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）+sin²B
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}B-\frac{1}{4}si{n}^{2}B+si{n}^{2}B$
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}B$+$\frac{3}{4}si{n}^{2}B$=$\frac{3}{4}$．
∵A是锐角，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccosA=12，
∴bc=8$\sqrt{3}$．
又∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-4}{16\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴b²+c²=28．
又b＜c．
∴b=2$\sqrt{3}$，c=4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数化简求值，解三角形，属于中档题．