Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
①函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x₀≥

a+b

2

；
③若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；
④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，则lnx₀＜

1

ab

．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．

解答： 解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”；-1就是它的均值点．
②不正确．反例：f（x）=x在区间[0，6]上．
③正确．由定义：x02-mx0-1=

-m-m

2

得x02-1=(x0-1)m⇒m=x0+1，
又x₀∈（-1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．
④正确．理由如下：由题知lnx0=

lnb-lna

b-a

．
要证明lnx0＜

1

ab

，即证明：

lnb-lna

b-a

＜

1

ab

?ln

b

a

＜

b-a

ab

=

b a

-

a b

，
令

b a

=t＞1，原式等价于lnt2＜t-

1

t

?2lnt-t+

1

t

＜0．
令h(t)=2lnt-t+

1

t

(t＞1)，则h′(t)=

2

t

-1-

1

t2

=

-t2+2t-1

t2

=-

(t-1)2

t2

＜0，
所以h(t)=2lnt-t+

1

t

＜h(1)=0得证．
故答案为：①③④．

点评：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．