Question

8．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A． y=$\frac{1}{x}$
• B． y=-x+$\frac{1}{x}$
• C． y=-x|x|
• D． y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，x＞0}\\{-x-1，x≤0}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及奇函数的定义，分段函数单调性的判断方法便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A.$y=\frac{1}{x}$在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.$x=-\frac{1}{2}$时，y=$-\frac{3}{2}$，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=-x|x|的定义域为R，且-（-x）|-x|=x|x|=-（-x|x|）；
∴该函数为奇函数；
$y=-x|x|=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}}&{x≥0}\\{{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴该函数在[0，+∞），（-∞，0）上都是减函数，且-0²=0²；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.$y=\left\{\begin{array}{l}{-x+1}&{x＞0}\\{-x-1}&{x≤0}\end{array}\right.$；
∵-0+1＞-0-1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．

点评 考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．