Question

18．（1）已知点M与两个定点O（0，0）、P（2，0）的距离的比为$\sqrt{3}$：1，求点M的轨迹方程；
（2）已知过点Q（-1，0）的直线l截（1）中M的轨迹的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出M的坐标，直接由点M与两个定点O（0，0）、P（2，0）的距离的比为$\sqrt{3}$：1，列式整理得方程．
（2）过点Q（-1，0）的直线l截（1）中M的轨迹的弦长为2，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0）、P（2，0）的距离的比为$\sqrt{3}$：1，得
$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，整理得：（x-3）²+y²=3．
∴点M的轨迹方程是（x-3）²+y²=3．
（2）∵过点Q（-1，0）的直线l截（1）中M的轨迹的弦长为2，
∴圆心到直线的距离为d=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圆心到直线的距离为$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+1），

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．